머리말 ... ⅲ 감사의 말 ... ⅶ 제1부 사회 과학으로서의 금융 수학 제1장 금융 수학이라는 학문의 특성 ... 3 1. 사회 현상을 수학적으로 표현할 수 있는가 ... 3 2. 사회 현상을 수학적으로 연구할 때의 어려운 점 ... 5 3. 순수 수학과 대비하여 본 일반적인 응용 수학의 특징 ... 6 4. 사회 과학에서 수학을 이용할 때 특이한 점 ... 8 5. 금융 산업의 발전과 수학 ... 10 제2장 금융 수학의 기본 개념 ... 11 1. 리스크 ... 11 2. 돈의 시간 가치 ... 12 3. 차익거래 불가능의 원칙 ... 13 4. 효율적 시장 가설 ... 14 제3장 금융 수학의 분야 ... 17 1. 포토폴리오 운용 ... 17 2. 파생 금융 상품 ... 19 3. 리스크 관리 ... 26 제4장 People in Financial Mathematics ... 27 1. 식물학자 브라운 ... 28 2. 수학자 바슐리에 ... 29 3. 물리학자 아인슈타인, 랑주뱅, 페랭 ... 30 4. 수학자 르베그 ... 31 5. 수학자 위너 ... 32 6. 수학자 레비 ... 33 7. 수학자 둡 ... 33 8. 수학자 이토 ... 33 9. 경제학자 마코위츠, 샤프 ... 34 10. 경제학자 새뮤얼슨 ... 35 11. 경제학자 블랙, 숄즈, 머튼 ... 35 12. 경제학자 콕스, 로스, 루빈스타인 ... 37 13. 경제학자 애로, 드브루 ... 37 14. 경제학자 크렙스, 경영학자 해리슨, 경영학자 플리스카 ... 38 제5장 금융 수학적 인생관 ... 39 1. 전통적인 인생관 ... 39 2. 금융 수학적 사고 방식 ... 40 제6장 대학에서의 금융 수학 교육 ... 47 1. 금융 수학을 공부하기 위한 기초과목 ... 47 2. 금융 산업과 금융 수학 ... 48 3. 금융 정보 수집 ... 50 제2부 기본적 수학 이론 제7장 점집합론 ... 53 1. 집합과 함수 ... 53 2. 거리 공간 ... 55 3. 거리 공간에서의 연속 함수 ... 56 4. 콤팩트 집합 ... 58 5. 촘촘한 부분 집합 ... 59 6. 선형 사상 ... 60 7. 함수의 확장 ... 61 제8장 선형 대수 ... 63 1. 행렬의 곱 ... 63 2. 행렬 ... 64 3. 내적 ... 64 4. 특성벡터와 특성값 ... 65 5. 행렬의 대각화 ... 65 6. 최소 제곱법 ... 66 제9장 상미분 방정식 ... 71 1. 상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식 ... 71 2. 비선형 상미분 방정식 ... 72 3. 벡터장으로 정의된 상미분 방정식 ... 73 제10장 편비분 방정식 ... 75 1. 편미분 방정식이란 무엇인가 ... 75 2. 푸리에 변환 ... 76 3. 라플라스 변환 ... 77 제11장 르베그 적분 ... 83 1. 측도의 정의 ... 83 2. 단순 함수 ... 87 3. 르베그 적분의 정의 ... 88 4. 르베그 적분의 성질 ... 92 5. 르베그 공간 ... 93 6. 적분과 관련된 부등식들 ... 94 7. 라돈-니코딤 정리 ... 96 제12장 확률론의 기초 ... 99 1. 측도와 확률 ... 99 2. 서로 독립인 확률 변수들 ... 107 3. 누적 분포 함수 ... 109 4. 변수 변환 ... 111 5. 큰 수의 법칙 ... 115 6. 중심 극한 정리 ... 116 7. 공분산과 상관 계수 ... 117 제13장 조건부 기대 ... 119 1. 사건에 대한 조건부 기대값 ... 119 2. 부분 σ- 대수에 대한 조건부 기대 ... 120 3. 확률 변수에 대한 조건부 기대 ... 129 제14장 엔트로피 ... 133 1. 엔트로피란 무엇인가 ... 133 2. 최대 엔트로피 원리 ... 135 3. 기하 브라운 운동과 최대 엔트로피 원리 ... 137 제3부 이토 적분 제15장 확률과정론 ... 141 1. 확률 과정 ... 141 2. 마틴게일 ... 143 제16장 브라운 운동 ... 147 1. 브라운 운동의 기본 성질 ... 147 2. 브라운 운동과 마틴게일 ... 162 제17장 이토 적분 ... 167 1. 이토 적분의 의미 ... 167 2. 이토 적분의 정의 ... 168 3. 이토 적분의 마틴게일 성질 ... 174 제18장 이토 공식 ... 177 1. 기본적인 이토 공식 ... 177 2. 일반적인 이토 공식 ... 185 3. 이토 공식의 응용 : 기하 브라운 운동 ... 187 제19장 기르사노프 정리 ... 191 1. 동등한 확률 측도 ... 191 2. 새로운 측도에 대한 브라운 운동 ... 196 제20장 마틴게일 표현 정리 ... 199 1. 마틴게일 표현 정리 ... 199 제21장 파이먼-카츠 정리 ... 201 1. 파이먼-카츠 정리 ... 201 2. 블랙-숄즈-머튼 방정식에의 응용 ... 205 제22장 콜모고로프 방정식 ... 207 1. 멋대로 걷기와 콜모고로프 전진 방정식 ... 207 2. 멋대로 걷기와 콜모고로프 후진 방정식 ... 209 3. 콜모고로프 후진 방정식 ... 210 4. 콜모고로프 전진 방정식 ... 211 제23장 다차원 브라운 운동 ... 213 1. 서로 독립인 다차원 이토 공식 ... 213 2. 서로 상관된 다차원 이토 공식 ... 214 3. 다차원 블랙-숄즈-머튼 모형 ... 215 제4부 옵션 가격 이론 제24장 풋-콜 대칭성 ... 219 1. 유러피언 옵션의 풋-콜 대칭성 ... 219 제25장 이항 나무 방법 ... 223 1. 단일 기간 이항 나무 방법 ... 223 2. 다중 기간 이항 나무 방법 ... 227 제26장 블랙-숄즈-머튼 방정식의 풀이 ... 229 1. 블랙-숄즈-머튼 편미분 방정식의 유도 ... 229 2. 유러피언 옵션의 가격 ... 232 3. 그리스 문자들 ... 237 4. 라플라스 변환을 이용한 풀이 ... 240 제27장 마틴게일 방법 ... 245 1. 마틴게일 방법에 의한 옵션 가격 계산 ... 245 2. 유러피언 옵션의 가격의 분포 함수 ... 249 3. 유러피언 콜 옵션의 가격 ... 250 4. 마틴게일 방법에 의한 블랙-숄즈-머튼 방정식의 유도 ... 251 5. 델타 헤징 ... 253 제28장 마틴게일 방법의 적용 사례 ... 255 1. 외국환 ... 255 2. 외환 거래 문제에 있어서 기준 통화의 채택 ... 259 3. 배당금이 있는 경우의 주식 ... 261 4. 쿠폰이 있는 채권 ... 266 제29장 이색 옵션의 가격 ... 271 1. 다단계 옵션 ... 271 2. 아시안 옵션 ... 274 3. 디지털 옵션 ... 276 4. 배리어 옵션 ... 278 5. 버뮤다 옵션 ... 278 6. 바스켓 옵션 ... 278 7. 룩백 옵션 ... 278 제30장 아메리칸 옵션 ... 279 1. 아메리칸 콜 옵션 ... 279 2. 아메리칸 풋 옵션 ... 280 3. 옵션의 최적 행사 ... 283 제5부 포트폴리오 투자 이론 제31장 포트폴리오의 수익률 ... 287 1. 수익률 ... 287 2. 공분산 행렬 ... 289 3. 자산 두 개로 이루어진 포트폴리오 ... 291 4. 자산 세 개 이상으로 이루어진 포트폴리오 ... 293 5. 라그랑주 승수법의 응용 ... 295 6. 포트폴리오 수익률의 분산의 최소화 문제 ... 299 제32장 자본 자산 가격 모델 ... 303 1. 최소 분산 곡선 ... 303 2. 효율적 경계선 ... 305 3. 무위험 자산을 포함하는 포트폴리오 ... 308 4. 시장 포트폴리오 ... 309 5. 베타 계수 ... 312 제33장 연속적 자본 자산 가격 모델 ... 315 1. 재산 방정식 ... 315 2. 제산 가치의 마틴게일 성질 ... 317 3. 효율적 투자시의 재산 가치 ... 318 4. 효율적 포트폴리오 운영 전략 ... 321 제34장 동적 계획법 ... 325 1. 해밀턴-야코비-벨먼 방정식 ... 326 2. 최적 소비를 위한 포트폴리오 운영 ... 330 제6부 계산적 방법론 제35장 난수 ... 341 1. 난수의 이용 ... 341 2. 균등 분포를 갖는 난수의 생성 ... 342 3. 난수의 성능 ... 344 4. 정규 분포를 갖는 난수의 생성 ... 345 제36장 몬테 칼로 적분 ... 347 1. 몬테 칼로 적분이란 무엇인가 ... 347 2. 몬테 칼로 적분의 오차 ... 349 3. 분산 축소 기법 : 대조 변량 ... 349 4. 분산 축소 기법 : 조절 변량 ... 350 5. 분산 축소 기법 : 중점 추출법 ... 351 제37장 확률 미분 방정식의 수치적 풀이 ... 353 1. 확률 미분 방정식의 이산적 근사 ... 354 2. 확률적 테일러 전개 ... 356 3. 오일러 방법 ... 358 4. 밀스타인 방법 ... 359 제38장 내재 변동성 ... 361 1. 역사적 변동성 ... 361 2. 내재 변동성 ... 363 참고 문헌 ... 367 찾아보기 ... 371