CONTENTS
Preface ... xi
1 Introduction and overview ... 1
   1.1 Some history ... 1
   1.2 Examples of chaotic behavior ... 2
   1.3 Dynamical systems ... 6
   1.4 Attractors ... 10
   1.5 Sensitive dependence on initial conditions ... 15
   1.6 Delay coordinates ... 19
   Problems ... 21
   Notes ... 22
2 One - dimensional maps ... 23
   2.1 Piecewise linear one - dimensional maps ... 23
   2.2 The logistic map ... 31
   2.3 General discussion of smooth one-dimensional maps ... 44
   2.4 Examples of applications of one-dimensional maps to chaotic systems of higher dimensionality ... 56
   Appendix : Some elementary definitions and theorems concerning sets ... 64
   Problems ... 66
   Notes ... 68
3 Strange attractors and fractal dimension ... 69
   3.1 The box - counting dimension ... 69
   3.2 The generalized baker's map ... 75
   3.3 Measure and the spectrum of <M:MATH ? xmlns ... '"htt
   3.4 Dimension spectrum for the generalized baker's map ... 81
   3.5 Character of the natural measure for the generalized baker's map ... 83
   3.6 The pointwise dimension ... 86
   3.7 Implications and determination of fractal dimension in experiments ... 89
   3.8 Embedding ... 93
   3.9 Fat fractals ... 97
   Appendix : Hausdorff dimension ... 100
   Problems ... 103
   Notes ... 106
4 Dynamical properties of chaotic systems ... 108
   4.1 The horseshoe map and symbolic dynamics ... 108
   4.2 Linear stability of steady states and periodic orbits ... 115
   4.3 Stable and unstable manifolds ... 122
   4.4 Lyapunov exponents ... 129
   4.5 Entropies ... 138
   4.6 Controlling chaos ... 145
   Appendix : Gram-Schmidt orthogonalization ... 148
   Problems ... 148
   Notes ... 150
5 Nonattracting chaotic sets ... 151
   5.1 Fractal basin boundaries ... 152
   5.2 Final state sensitivity ... 158
   5.3 Structure of fractal basin boundaries ... 161
   5.4 Chaotic scattering ... 166
   5.5 The dynamics of chaotic scattering ... 170
   5.6 The dimensions of nonattracting chaotic sets and their stable and unstable manifolds ... 176
   Appendix : Derivation of Eqs. (5. 3) ... 179
   Problems ... 181
   Notes ... 183
6 Quasiperiodicity ... 184
   6.1 Frequency spectrum and attractors ... 184
   6.2 The circle map ... 190
   6.3 N frequency quatiperiodicity with N&gt;2 ... 200
   6.4 Strange nonchaotic attractors of quasiperiodically forced systems ... 205
   Problems ... 206
   Notes ... 206
7 Chaos in Hamiltonian systems ... 208
   7.1 Hamiltonian systems ... 208
   7.2 Perturbation of integrable systems ... 224
   7.3 Chaos and KAM tori in systems describable by two-dimensional Hamiltonian maps ... 235
   7.4 Higher - dimensional systems ... 255
   7.5 Strongly chaotic systems ... 257
   7.6 The succession of increasingly random systems ... 261
   Problems ... 262
   Notes ... 264
8 Chaotic transitions ... 266
   8.1 The period doubling cascade route to chaotic attractors ... 267
   8.2 The intermittency transition to a chaotic attractor ... 272
   8.3 Crises ... 277
   8.4 The Lorenz system : An example of the creation of a chaotic transient ... 291
   8.5 Basin boundary metamorphoses ... 294
   8.6 Bifurcations to chaotic scattering ... 299
   Problems ... 303
   Notes ... 304
9 Multifractals ... 305
   9.1 The singularity spectrum <M:MATH ? xmlns ... '"htt
   9.2 The partition function formalism ... 313
   9.3 Lyapunov partition functions ... 316
   9.4 Distribution of finite time Lyapunov exponents ... 322
   9.5 Unstable periodic orbits and the natural measure ... 326
   9.6 Validity of the Lyapunov and periodic orbits partition functions for nonhyperbolic attractors ... 330
   Problems ... 332
   Notes ... 332
10 Quantum chaos ... 334
   10.1 The energy level spectra of chaotic, bounded, time - independent systems ... 336
   10.2 Wavefunctions for classically chaotic, bounded, time - independent systems ... 352
   10.3 Temporally periodic systems ... 354
   10.4 Quantum chaotic scattering ... 360
   Problems ... 361
   Notes ... 361
References ... 363
Index ... 382