목차
제0장 첫머리
0.1. 유한요소법 ... 3
0.1.1. 일반적 배경 ... 3
0.1.2. 발달의 역사 ... 4
0.1.3. 연구 현황(State of the Art) ... 5
0.2. 본서의 목적과 구성 ... 6
0.2.1. 유한요소법의 교육 ... 6
0.2.2. 본서의 목적 ... 7
0.2.3. 본서의 구성 ... 7
제1장 유한요소에 의한 근사
1.0. 서론 ... 17
1.1. 개론 ... 18
1.1.1. 절점근사 ... 18
1.1.2. 유산요소를 이용한 근사［1-3］ ... 24
1.2. 요소 형상의 정의 ... 29
1.2.1. 형상절점 ... 29
1.2.2. 영역을 요소로 분할하기 위한 규칙 ... 30
1.2.3. 일부 고전적 요소형상의 기본적인 형태 ... 31
1.2.4. 기준요소 ... 33
1.2.5. 고전적 요소 ... 38
1.2.6. 절점좌표와 요소의 결합관계 ... 41
1.3. 기준요소에 근거한 근사 ... 44
1.3.1. 대수함수형의 근사함수 ... 44
1.3.2. 근사함수 u(x)의 성질 ... 47
1.4. 함수 N(ξ)와 <?import namespace ... m ur
1.4.1. 일반적인 구성법 ... 52
1.4.2. 함수 N과 <m:math xmlns ... '"htt
1.5. 미분연산자의 변환［2］ ... 60
1.5.1. 개요 ... 60
1.5.2. 1차 도함수 ... 61
1.5.3. 2차 도함수 ... 65
1.5.4. 악조건하에서의 Jacobian 매트릭스 ... 67
1.6. 함수 N, 도함수, Jacobian 매트릭스의 산출 ... 69
1.6.1. 개요 ... 69
1.6.2. N의 명확한 표현 ... 71
1.6.3. 내삽함수 N의 자동 생성 ... 73
1.6.4. Jacobian 매트릭스와 도함수의 산출 ... 84
1.7. 요소의 사사오입 오차 ... 86
1.7.1. 서론 ... 86
1.7.2. 오차평가 ... 91
1.7.3. 사사오입 오차의 감소 ... 94
1.8. 수치 계산예(강우량 예측) ... 95
제2장 각종 요소
2.0. 서론 ... 105
2.1. 본 장에서 기술하는 요소 리스트 ... 106
2.2. 선 요소 ... 109
2.2.1. 1차 요소(2절점, C?) ... 109
2.2.2. 라그랑제요소(Lagrangian element)(연속성 C?) ... 111
2.2.2.1. 등간격 절점(equidistant nodes)을 가진 2차 요소(3절점, C?) ... 111
2.2.2.2. 등간격 절점을 가진 3차 요소(4절점, C?) ... 113
2.2.2.3. n개의 등간격절점을 가진 요소(n절점, C?) ... 114
2.2.3. 고차 요소내 연속성을 가진 요소 ... 115
2.2.3.1. 3차 요소(2절점, C¹) ... 115
2.2.3.2. 5차 요소(2절점, C²) ... 117
2.2.4. 일반요소 ... 119
2.2.4.1. 4차의 라그랑제·Hermite 요소(3절점, C¹) ... 119
2.2.4.2. 절점이 아닌 1개의 자유도를 가진 Hermite 요소(2절점, C¹) ... 120
2.3. 삼각형요소 ... 122
2.3.1. 좌표계 ... 122
2.3.2. 선형 요소(삼각형, 3절점, C?) ... 124
2.3.3. 라그랑제 요소(연속성 C?) ... 126
2.3.3.1. 2차 요소(삼각형, 6절점, C?) ... 126
2.3.3.2. r차의 완전다항식을 이용한 요소(삼각형, n절점, C?) ... 128
2.3.3.3. 완전 3차 요소(삼각형, 10절점, C?) ... 129
2.3.3.4. 불완전 3차 요소(삼각형, 9절점, C?) ... 130
2.3.3.5. 곡선 요소 ... 131
2.3.3.6. 비적합요소(non-compatible element)(삼각형, 3절점, semi-C?) ... 132
2.3.4. Hermite 요소 ... 133
2.3.4.1. 완전 3차 요소(삼각형, 4절점, semi-C¹) ... 133
2.3.4.2. 불완전 3차 요소(삼각형, 3절점, semi-C?) ... 135
2.3.4.3. 5차 요소(삼각형, 3절점, C¹) ... 135
2.4. 사변형 요소 ... 138
2.4.1. 좌표계 ... 138
2.4.2. Bilinear 요소(사변형, 4절점, C?) ... 139
2.4.3. 고차 라그랑제 요소(Higher Order Lagragian Element ; C?) ... 140
2.4.3.1. 완전 2차 요소(사변형, 9절점, C?) ... 140
2.4.3.2. 불완전 2차 요소(사변형, 8절점, C?) ... 141
2.4.3.3. 불완전 3차 요소(사변형, 16절점, C?) ... 142
2.4.3.4. 불완전 3차 요소(사변형, 12절점, C?) ... 144
2.4.3.5. 곡선 요소 ... 145
2.4.4. 고차 Hermite 요소 ... 146
2.4.4.1. 3차 요소(사변형, 4절점, semi-C¹) ... 146
2.4.4.2. 연속 장방형 요소(장방형, 4절점, C¹) ... 147
2.5. 삼각추(tetrahedrous)(3차원) ... 149
2.5.1. 좌표계 ... 149
2.5.2. 1차 요소(삼각추, 4절점, C?) ... 151
2.5.3. 고차 라그랑제 요소(C?) ... 152
2.5.3.1. 완전 2차 요소(삼각형, 10절점, C?) ... 152
2.5.3.2. 완전 3차 요소(삼각형, 20절점, C?) ... 153
2.5.3.3. 곡선 요소 ... 153
2.5.4. Hermite 요소 ... 154
2.6. 육면체(3차원) ... 155
2.6.1. Trilinear 요소(육면체, 8절점, C?) ... 155
2.6.2. 고차 라그랑제 요소(C?) ... 156
2.6.2.1. 완전 2차 요소(육면체, 27절점, C?) ... 156
2.6.2.2. 불안전 2차 요소(육면체, 20절점, C?) ... 157
2.6.2.3. 불안전 3차 요소(육면체, 32절점, C?) ... 159
2.6.2.4. 곡선 요소 ... 161
2.6.3. Hermite 요소 ... 162
2.7. 삼각주(3차원) ... 163
2.7.1. 6절점 삼각주(삼각주, 6절점, C?) ... 163
2.7.2. 15절점 요소(삼각주, 15절점, C?) ... 164
2.8. 그 외의 요소 ... 166
2.8.1. Heterogeneous 요소 ... 166
2.8.2. 요소의 수정 ... 168
2.8.3. 계층 요소(Hierarchical element)［7］ ... 170
2.8.4. Superparametric 요소 ... 173
2.8.5. 무한 요소(Infinite element) ... 174
제3장 공학문제의 변분에 따른 정식화
3.0. 서론 ... 179
3.1. 물리 문제의 분류［1, 2］ ... 182
3.1.1. 이산계 및 연속계 ... 182
3.1.2. 평형문제, 고유치문제 및 전파문제 ... 183
3.2. 가중치가 붙은 잔차법［3］ ... 191
3.2.1. 잔차(Residuals) ... 191
3.2.2. 적분 형식 ... 191
3.3. 적분변환 ... 193
3.3.1. 부분적분 ... 193
3.3.2. 약적분(弱積分) 형식(Weak Intrgral Forms) ... 195
3.3.3. 그 외 적분형식의 구성 ... 198
3.4. 범(汎)함수(Functionals)［4, 5］ ... 200
3.4.1. 제1변분 ... 200
3.4.2. 적분형식의 정식화에 부가하는 범함수 ... 201
3.4.3. 정류(停留) 원리(Stationarity Principle) ... 205
3.4.4. 라그랑제 승수(Lagrange multipliers) 및 그 외의 범함수 ... 205
3.5. 적분형식의 이산화 ... 213
3.5.1. 함수 W의 이산화 ... 213
3.5.2. 함수 u의 근사 ... 214
3.5.3. 가중함수(Weighting Function) Ψ의 선택 ... 217
3.5.3.1. 선점법(collocation by points) ... 218
3.5.3.2. 부분 영역법(collocation by sub-domains) ... 219
3.5.3.3. Galerkin법 ... 221
3.5.3.4. 최소자승법(least squares method) ... 223
3.5.4. 범함수의 이산화(discretization of a functional)(Ritz법) ... 224
3.5.5. 방정식의 성질 ... 227
제4장 유한요소법의 매트릭스 정식화
4.0. 서론 ... 233
4.1. 유한요소법 ... 234
4.1.1. 정의 ... 234
4.1.2. 해의 수렴성에 대한 조건 ... 238
4.1.3. Patch-test(프로그램 편집 및 수정 검사) ... 239
4.2. 이산화적분 ... 243
4.2.1. 의 매트릭스 표현 ... 243
4.2.2. 비선형 미분 연산자인 경우 ... 245
4.2.3. 기본요소 공간내에서의 적분 ... 247
4.2.3.1. x에 관한 도함수의 변환 ... 247
4.2.3.2. 절점변수의 변환 ... 248
4.2.3.3. 적분영역의 변환 ... 249
4.2.3.4. 경계적분의 변환 ... 249
4.2.3.5. 기본요소 공간에서의 ［k］와｛f｝의 표시 ... 252
4.2.4. 일부 고전적(classical forms) 와 요소 매트릭스 ... 252
4.3. 요소매트릭스의 계산 기법 ... 255
4.3.1. 삼각형요소 및 푸아송(poisson's) 방정식의 계산 ... 255
4.3.2. 요소 매트릭스의 수치계산을 위한 매트릭스 구성 ... 257
4.3.3. 요소 매트릭스의 계산을 위한 Control 서브루틴 ... 259
4.3.4. 서브루틴 ELEM01 「준조화(quasi-harmonic) 문제용」 ... 260
4.3.5. 서브루틴 ELEM02(평면 탄성 문제용) ... 266
4.4. 전체이산화(Global Discretized)식 W의 구성 ... 276
4.4.1. 요소 매트릭스의 확장에 의한 구성 ... 276
4.4.2. 구조역학 요소의 구성 ... 282
4.5. 구성 기법 ... 284
4.5.1. 구성 순서 단계 ... 284
4.5.2. 본서에서 이용되는 구성 순서를 위한 규칙 ... 284
4.5.3. 구성용 서브루틴의 예 ... 286
4.5.4. 대응표 LOCE의 작성 ... 288
4.6. 전체 매트릭스의 특성 ... 291
4.6.1. 매트릭스 ［K］의 밴드 구조 ... 291
4.6.2. 대칭성 ... 294
4.6.3. 기억장소 ... 294
4.7. 전체 방정식(Global System of Equations) ... 301
4.7.1. 방정식의 정식화 ... 301
4.7.2. 경계조건의 도입 ... 302
4.7.3. 반력 ... 305
4.7.4. 변수 변환 ... 306
4.7.5. 변수간의 선형제약(線形制約) ... 307
4.8. 예제 : 푸아송 방정식 ... 312
제5장 수치해석순서
5.0. 서론 ... 321
5.1. 수치 적분 ... 323
5.1.1. 서론 ... 323
5.1.2. 1차원 수치 적분［1, 2, 3］ ... 325
5.1.2.1. Gauss법 ... 325
5.1.2.2. Newton-Cotes법［1, 2］ ... 330
5.1.3. 2차원 수치 적분［1, 2］ ... 334
5.1.3.1. 사각형 요소 ... 334
5.1.3.2. 삼각형 요소 ... 337
5.1.4. 3차원 수치 적분［2, 5, 6, 7］ ... 342
5.1.4.1. 입방체(또는 직방체) 요소 ... 342
5.1.4.2. 삼각추(三角錐, tetrahedronal) 요소 ... 342
5.1.5. 근사 적분 ... 342
5.1.6. 적분점 수의 선택［8, 9］ ... 348
5.1.7. 수치 적분 CODE ... 348
5.2. 연립 1차 방정식의 해법 ... 353
5.2.1. 서론 ... 353
5.2.2. Gauss 소거법 ... 354
5.2.2.1. 삼각 분해(Triangularization) 과정 ... 354
5.2.2.2. 상삼각 매트릭스를 가지는 계의 해법 ... 359
5.2.2.3. Gauss 소거법의 컴퓨터 프로그램 ... 359
5.2.3. 매트릭스 분해(Factorization) ... 361
5.2.3.1. 서론 ... 361
5.2.3.2. Gauss 소거법의 매트릭스에 의한 정식화 ... 361
5.2.3.3. 삼각 매트릭스 ［］의 특성 ... 363
5.2.3.4. ［K］의 기타 표현법 ... 364
5.2.3.5. 계수 매트릭스 분해후의 연립 1차 방정식의 해법 ... 365
5.2.3.6. 분해 매트릭스 ... 366
5.2.4. 메모리를 절약한 Skyline 매트릭스의 알고리즘 ... 369
5.2.4.1. 내부 기억에 만들어진 매트릭스 ［K］의 경우 ... 369
5.2.4.2. Block마다 외부 기억에 저장되는 Skyline 매트릭스 ... 374
5.3. 비선형계(非線形系) ... 379
5.3.1. 서론 ... 379
5.3.2. 대입법 ... 381
5.3.3. Newton-Raphson법 ... 387
5.3.4. 증분법(Incremental Method)(Step by Step) ... 391
5.3.5. 독립변수의 변환［12］ ... 392
5.3.6. 해법 전략 ... 394
5.4. 시간 의존형 문제의 해법［11, 13, 17］ ... 397
5.4.1. 서론 ... 397
5.4.2. 1차계의 직접 적분법 ... 399
5.4.2.1. 오일러의 양해법(Explicit Euler's method) ... 399
5.4.2.2. 오일러의 음해법(Implicit Euler's method) ... 404
5.4.2.3. 오일러의 반음해법(半陰解法 : semi-implicit Euler's method) ... 408
5.4.2.4. 예측자-수정자 식(Predictor-Corrector formulas)［13, 15］ ... 410
5.4.2.5. Runge-Kutta형의 양해법(Explicit method)［10, 13］ ... 413
5.4.3. 1차계에 대한 모드중첩 ... 415
5.4.4. 2차계의 직접 적분［11, 16, 17］ ... 419
5.4.4.1. 중앙 차분법(Central Finite Difference Method) ... 419
5.4.4.2. 후우볼트법(Houbolt's method)［18］ ... 420
5.4.4.3. Newmark-Wilson의 방법［11, 19, 20］ ... 422
5.4.5. 2차계에 대한 모드 중첩［16］ ... 426
5.5. 매트릭스 고유치 문제의 해법［11, 13, 21］ ... 430
5.5.1. 서론 ... 430
5.5.2. 일부 매트릭스의 고유치 문제의 기본적 성질 ... 431
5.5.2.1. 간략화한 정식화 ... 431
5.5.2.2. 고유치 ... 432
5.5.2.3. 고유 백터 ... 432
5.5.2.4. Spectral 분해 ... 433
5.5.2.5. ［K］와 ［M］의 변환 ... 434
5.5.2.6. Rayleigh quotient(指數) ... 436
5.5.2.7. 고유치의 분리 ... 437
5.5.2.8. 고유치의 shift ... 438
5.5.3. 고유치의 계산 ... 439
5.5.3.1. 역 반복법(Inverse Iteration Method) ... 439
5.5.3.2. Jacobi법 ... 441
5.5.3.3. Ritz법 ... 448
5.5.3.4. Subspace법 ... 450
제6장 코딩 테크닉
6.0. 서론 ... 461
6.1. 유한 요소법 프로그램에 공통적인 특징 ... 462
6.2. 초심자용 프로그램 BBMEF ... 464
6.3. 범용 프로그램 ... 471
6.3.1. 범용 CODE의 기능 ... 471
6.3.1.1. 문제의 형태 ... 471
6.3.1.2. 문제의 규모 ... 472
6.3.2. 모듈성(modularity) ... 473
6.4. 프로그램 MEF ... 475
6.4.1. 서론 ... 475
6.4.2. 전체의 구성 ... 475
6.4.2.1. 기능 block의 흐름도 ... 475
6.4.2.2. 의사 동적(疑似動的 : pseudo-dynamic) 메모리 관리 ... 476
6.4.2.3. 프로그래밍 규칙(프로그래머를 위한 reference guide) ... 479
6.4.3. 문제 데이타 베이스의 구성 ... 480
6.4.3.1. 입력과 실행 기능 block ... 480
6.4.3.2. 내부와 외부 기억 장치(core and out of core storage) ... 481
6.4.3.3. COMMON 중의 가장 중요한 배열과 변수의 기술 ... 481
6.5. 기능 블럭의 기술 ... 490
6.5.1. 메인 프로그램 ... 490
6.5.2. 데이터를 읽는 기능 블럭 ... 496
6.5.2.1. 블럭 'IMAG' ... 496
6.5.2.2. 블럭 'COMT' ... 497
6.5.2.3. 블럭 'COOR' ... 498
6.5.2.4. 블럭 'DLPN' ... 501
6.5.2.5. 블럭 'COND' ... 503
6.5.2.6. 블럭 'PRND' ... 506
6.5.2.7. 블럭 'PREL' ... 507
6.5.2.8. 블럭 'ELEM' ... 509
6.5.2.9. 블럭 'SOLC' ... 516
6.5.3. 실행 기능 블럭 ... 518
6.5.3.1. 실행 블럭의 구성 ... 518
6.5.3.2. 블럭 'SOLR' ... 520
6.5.3.3. 블럭 'LINM' ... 522
6.5.3.4. 블럭 'LIND' ... 534
6.5.3.5. 블럭 'NLIN' ... 542
6.5.3.6. 블럭 'TEMP' ... 547
6.5.3.7. 블럭 'VALP' ... 553
6.6. 프로그램 MEF에 대응하는 입력 값의 기술(記述) ... 559
6.6.1. 규약 ... 559
6.6.2. 각 블럭에 대응하는 입력 ... 560
6.7. MEF의 응용 ... 569
6.7.1. 열전도 ... 569
6.7.2. 평면 응력 문제 ... 603
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