목차
지은이 서문 ... 3
1. 균등수렴(Uniform Convergence) ... 14
1.1. 정의 ... 14
1.2. 판정법 ... 15
1.2.1. 코시 판정법(Cauchy Criterion) ... 15
1.2.2. Weierstrass M Test ... 16
1.3. 균등수렴과 연속의 관계 ... 16
1.4. 푸리에 급수와의 관계 ... 17
2. 델타함수(Delta Function) ... 18
2.1. 개론 ... 18
2.2. 다양한 표현 ... 18
2.2.1. 단위계단함수(Unit Step Function)를 이용한 정의 ... 20
2.2.2. 정의 Ⅱ ... 21
3. 삼각다항식에 의한 최소제곱 ... 23
3.1. 개론 ... 23
3.2. 예비정리(Lemma) ... 24
3.3. 한 쌍의 삼각함수 ... 26
3.3.1. 주어진 자료가 짝수개인 경우 ... 26
3.3.2. 주어진 자료가 홀수개인 경우 ... 30
3.3.3. 결론 및 주의사항 ... 33
3.4. 두 쌍 이상의 삼각함수 ... 34
3.4.1. 이론 ... 34
3.4.2. 소스 코드 ... 41
3.4.3. 실행 결과 ... 42
4. 푸리에 급수(Fourier Series) ... 44
4.1. 개론 ... 44
4.2. 사인함수들과 코사인함수들의 주기성 ... 44
4.3. 사인함수들과 코사인함수들의 직교성 ... 45
4.4. 오일러-푸리에 공식(Euler-Fourier Formulas) ... 47
4.5. 푸리에 급수의 수렴조건 ... 55
4.6. 복소 푸리에 급수(Complex Fourier Series) ... 55
4.7. 푸리에 삼각급수(Fourier Trigonometric Series) ... 58
4.7.1. 홀함수와 짝함수 ... 58
4.7.2. 푸리에 사인급수(Fourier Sine Series) ... 59
4.7.3. 푸리에 코사인급수(Fourier Cosine Series) ... 60
4.8. 깁스 현상(Gibbs Phenomenon) ... 61
4.9. 미분(Differentiation)과 적분(Integration) ... 67
4.9.1. 개론 ... 67
4.9.2. 미분정리 ... 67
4.9.3. 적분정리 ... 68
4.10. 파세발의 항등식(Parseval's Identity) ... 69
4.11. 푸리에 급수의 일반화 ... 69
5. 푸리에 급수의 응용 ... 72
5.1. 개론 ... 72
5.2. RLC 직렬회로(RLC Series Circuit) ... 72
5.3. 열전도(Heat Conduction) ... 75
5.3.1. 열방정식(Heat Equation)의 유도 ... 75
5.3.2. 열전도방정식의 해법 ... 77
5.4. 가로떨기(Transversal Vibration) ... 86
5.5. 디리클레 문제(Dirichlet Problem) ... 94
5.5.1. 개론 ... 94
5.5.2. 사각평면에 대한 디리클레 문제 ... 94
5.5.3. 원판에 대한 디리클레 문제 ... 97
6. 이산 푸리에 급수 ... 102
6.1. 개론 ... 102
6.2. 자료의 개수가 짝수개인 경우 ... 103
6.2.1. 자료의 개수가 두 개인 경우 ... 103
6.2.2. 자료의 개수가 네 개인 경우 ... 106
6.3. 자료의 개수가 홀수개인 경우 ... 110
6.3.1. 자료의 개수가 세 개인 경우 ... 110
6.3.2. 자료의 개수가 다섯 개인 경우 ... 112
6.4. 일반화 ... 113
6.4.1. 삼각함수들의 직교성 ... 113
6.4.2. 자료의 개수가 짝수개인 경우 ... 121
6.4.3. 자료의 개수가 홀수개인 경우 ... 123
6.4.4. 결론 ... 126
6.5. 복소 푸리에 급수 ... 129
6.6. 파세발의 항등식(Parseval's Identity) ... 133
7. 푸리에 적분(Fourier Integral) ... 136
7.1. 개론 ... 136
7.2. 기본적인 idea ... 137
7.3. 유도(Derivation) ... 141
7.3.1. 푸리에 급수로부터 유도 ... 141
7.3.2. 복소 푸리에 급수로부터 유도 ... 144
7.4. 푸리에 코사인적분과 푸리에 사인적분 ... 146
7.5. 복소 푸리에 적분(Complex Fourier Integral) ... 147
8. 푸리에 적분의 응용 ... 151
8.1. 적분 계산 ... 151
8.2. 열전도 ... 154
9. 푸리에 변환(Fourier Transform) ... 159
9.1. 개론 ... 159
9.2. 푸리에 코사인변환과 푸리에 사인변환의 정의 ... 160
9.3. 푸리에 코사인변환과 푸리에 사인변환의 성질들 ... 162
9.3.1. 선형성(Linearity) ... 162
9.3.2. 도함수들의 변환 ... 163
9.4. 푸리에 코사인변환과 푸리에 사인변환의 예제들 ... 165
9.4.1. 예제 Ⅰ ... 165
9.4.2. 예제 Ⅱ ... 166
9.4.3. 예제 Ⅲ ... 167
9.4.4. 예제 Ⅳ ... 167
9.5. 푸리에 변환의 정의 ... 168
9.5.1. 변형된 정의 ... 169
9.6. 푸리에 변환의 성질들 ... 171
9.6.1. 선형성(Linearity) ... 171
9.6.2. 도함수들의 변환 ... 172
9.6.3. 편이(Shifting) ... 174
9.6.4. Scaling ... 175
9.6.5. 대칭성 ... 175
9.7. 여러 가지 함수들의 푸리에 변환 ... 176
9.7.1. 상수함수 ... 176
9.7.2. 델타함수(Delta Function) ... 177
9.7.3. 코사인함수(Cosine Function) ... 178
9.7.4. 사인함수(Sine Function) ... 178
9.7.5. 가우스 함수(Gaussian Function) ... 178
9.8. 합성곱(Convolution) ... 183
9.9. 상관(Correlation) ... 188
9.10. 파세발의 항등식(Parseval's Identity) ... 190
9.11. 다중차원 푸리에 변환 ... 192
10. 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform) ... 193
10.1. 개론 ... 193
10.2. 이산 직교성(Discrete Orthogonality) ... 195
10.3. 정의 ... 197
10.4. 유니타리변환(Unitary Transform) ... 205
10.5. 구현 ... 206
10.5.1. 소스 코드 ... 206
10.5.2. 실행 결과 ... 207
10.6. 이산 푸리에 변환의 성질들 ... 208
10.6.1. 원형편이(Circular Shifting) ... 209
10.6.2. 원형시간편이(Circular Time Shifting) ... 211
10.6.3. 원형진동수편이(Circular Frequency Shifting) ... 211
10.7. 길이가 짝수인 실순열(Real Sequence) ... 211
10.8. 이산시간 푸리에 변환(Discrete Time Fourier Transform) ... 212
10.9. 파세발의 항등식(Parseval's Identity) ... 214
10.10. 다중차원 이산 푸리에 변환 ... 214
10.10.1. 이차원 이산 푸리에 변환 ... 214
10.10.2. 임의의 차원 이산 푸리에 변환 ... 215
11. 이산 푸리에 변환에서 고속 푸리에 변환으로 도약 ... 216
11.1. 개론 ... 216
11.2. 푸리에 행렬(Fourier Matrix) ... 216
11.3. Danielson-Lanczos Lemma ... 221
11.4. 역비트순(Bit-reversed Order) ... 223
12. 기수 2 고속 푸리에 변환 알고리즘들 ... 225
12.1. 개론 ... 225
12.2. 기수 2 Decimation in Time 고속 푸리에 변환 ... 225
12.2.1. Decimation ... 225
12.2.2. 이론 ... 226
12.2.3. 소스 코드 ... 230
12.2.4. 실행 결과 ... 232
12.3. 기수 2 Decimation in Frequency 고속 푸리에 변환 ... 233
12.3.1. Partition ... 233
12.3.2. 이론 ... 233
12.4. 역비트순이 발생하는 이유를 수학적으로 분석 ... 237
13. 기수 4 고속 푸리에 변환 알고리즘들 ... 245
13.1. 개론 ... 245
13.2. 몇 가지 표기법 ... 246
13.3. 기수 4 Decimation in Time 고속 푸리에 변환 ... 247
13.3.1. 이론 ... 247
13.4. 기수 4 Decimation in Frequency 고속 푸리에 변환 ... 247
13.4.1. 이론 ... 247
13.5. 기수 2 알고리즘과 기수 4 알고리즘의 비교 ... 251
13.5.1. 소스 코드 ... 251
13.5.2. 컴파일 및 실행 ... 258
14. 분할 기수 고속 푸리에 변환(Split Radix FFT) ... 263
14.1. 개론 ... 263
14.2. 분할 기수 Decimation in Time 고속 푸리에 변환 ... 263
14.3. 분할 기수 Decimation in Frequency 고속 푸리에 변환 ... 264
14.4. 길이가 16인 신호 ... 264
14.4.1. 이론 ... 264
14.4.2. 소스 코드 ... 265
14.4.3. 실행 결과 ... 271
14.5. 길이가 2의 거듭제곱인 신호 ... 272
14.5.1. 소스 코드 ... 272
14.5.2. 실행 결과 ... 278
15. 혼합된 기수 고속 푸리에 변환(Mixed Radix FFT) ... 281
15.1. 개론 ... 281
15.2. 이론 ... 281
15.3. 소스 코드 ... 287
15.4. 컴파일 및 실행 ... 307
16. 다중차원 고속 푸리에 변환 ... 311
16.1. 개론 ... 311
16.2. 이차원 ... 311
16.2.1. 소스 코드 ... 312
16.2.2. 실행 결과 ... 318
16.3. 다중차원 ... 319
16.3.1. 소스 코드 ... 320
16.3.2. 실행 결과 ... 330
17. 정수론(Number Theory) ... 332
17.1. 개론 ... 332
17.2. 모듈라연산(Modular Arithmetic) ... 332
17.3. 중국인의 나머지 정리(Chinese Remainder Theorem) ... 333
17.4. Fermat's Little Theorem ... 337
17.4.1. 직접적인 증명 ... 338
17.4.2. 수학적 귀납법(Mathematical Induction)으로 증명 ... 339
18. 소인수 고속 푸리에 변환(Prime Factor FFT) ... 341
18.1. 개론 ... 341
18.2. 일차원 이산 푸리에 변환을 다중차원 사상으로 ... 341
18.3. 소스 코드 ... 345
18.4. 실행 결과 ... 353
18.5. 짧은 길이의 이산 푸리에 변환 ... 354
19. 모듈라 고속 푸리에 변환(Modular FFT) ... 355
19.1. 개론 ... 355
19.2. 정수론과 이산 푸리에 변환 ... 356
19.3. 이론 ... 360
19.3.1. 법(Modulus)이 소수(Prime Number)인 경우 ... 362
19.3.2. 법(Modulus)이 합성수(Composite Number)인 경우 ... 362
19.4. 모듈라 고속 푸리에 변환에 사용할 소수 찾기 ... 363
19.4.1. 소스 코드 ... 365
19.4.2. 실행 결과 ... 375
19.5. 모듈라 고속 푸리에 변환에 사용할 원시근 찾기 ... 377
19.5.1. 이론 ... 377
19.5.2. 소스 코드 ... 379
19.5.3. 컴파일 및 실행 ... 385
19.6. 31 비트 NTT ... 385
19.6.1. 소스 코드 ... 386
19.6.2. 컴파일 및 실행 ... 402
19.7. 64 비트 NTT ... 403
19.7.1. 소스 코드 ... 403
19.7.2. 컴파일 및 실행 ... 414
20. Goerzel 알고리즘 ... 417
20.1. 개론 ... 417
20.2. Z 변환(Z Transform) ... 418
20.2.1. 정의 ... 418
20.2.2. 이산 푸리에 변환과의 관계 ... 418
20.3. First Order Goertzel 알고리즘 ... 419
20.4. Second Order Goertzel 알고리즘 ... 421
20.4.1. 이론 ... 421
20.4.2. 소스 코드 ... 424
20.4.3. 실행 결과 ... 426
21. 합성곱(Convolution) ... 428
21.1. 개론 ... 428
21.2. 선형합성곱(Linear Convolution) ... 428
21.2.1. 이론 ... 428
21.2.2. 소스 코드 ... 430
21.2.3. 실행 결과 ... 432
21.3. 원형합성곱(Circular Convolution) ... 432
21.4. 원형합성곱을 이용한 선형합성곱의 정의 ... 435
21.5. 코시 곱(Cauchy Product) ... 437
이 책을 집필하는 데 도움을 준 자료들 ... 441
논문 ... 441
책 ... 442
웹사이트 ... 444
내가 지금까지 쓴 책들 ... 446
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