목차
PART ONE 모델링, 컴퓨터 그리고 오차해석 ... 1
1.1. 동기 부여 ... 1
1.2. 구성 ... 2
CHAPTER 1. 수학적 모델링, 수치해법과 문제풀이 ... 5
1.1. 단순한 수학적 모델 ... 6
1.2. 공학과 과학에서의 보존법칙 ... 13
1.3. 본 교재에서 다루는 수치해법 ... 16
연습문제 ... 19
CHAPTER 2. MATLAB 기초 ... 23
2.1. MATLAB 환경 ... 24
2.2. 배정 ... 25
2.2.1. 스칼라 ... 25
2.2.2. 배열, 벡터와 행렬 ... 27
2.2.3. 콜론 연산자 ... 29
2.2.4. Linspace와 logspace 함수 ... 30
2.3. 수학적 연산 ... 31
2.4. 내장함수의 사용 ... 34
2.5. 그래픽 ... 37
2.6. 다른 차원 ... 41
2.7. 사례연구: 탐색적인 자료 해석 ... 42
연습문제 ... 45
CHAPTER 3. MATLAB 프로그래밍 ... 49
3.1. M-파일 ... 50
3.1.1. 스크립트파일 ... 50
3.1.2. 함수파일 ... 51
3.1.3. 부함수 ... 54
3.2. 입력-출력 ... 55
3.2.1. 파일의 생성과 접근 ... 57
3.3. 구조 프로그래밍 ... 60
3.3.1. 판정 ... 60
3.3.2. 루프 ... 68
3.4. 내포화와 들여쓰기 ... 73
3.5. M-파일로의 함수 전달 ... 76
3.5.1. 무명함수 ... 76
3.5.2. function 함수 ... 77
3.5.3. 전달 매개변수 ... 81
3.6. 사례연구: 번지점프하는 사람의 속도 ... 82
연습문제 ... 86
CHAPTER 4. 반올림오차와 절단오차 ... 91
4.1. 오차 ... 92
4.1.1. 정확도와 정밀도 ... 92
4.1.2. 오차의 정의 ... 93
4.2. 반올림오차 ... 97
4.2.1. 컴퓨터 상에서의 수의 표현 ... 97
4.2.2. 컴퓨터의 산술적 연산 ... 103
4.3. 절단오차 ... 106
4.3.1. Taylor 급수 ... 106
4.3.2. Taylor 급수전개의 나머지 항 ... 111
4.3.3. 절단오차를 추정하기 위한 Taylor 급수 ... 113
4.3.4. 수치미분 ... 113
4.4. 전체 수치오차 ... 118
4.4.1. 수치미분의 오차해석 ... 119
4.4.2. 수치오차의 제어 ... 122
4.5. 실책, 모델오차, 그리고 자료의 불확실성 ... 123
4.5.1. 실책 ... 124
4.5.2. 모델오차 ... 124
4.5.3. 자료의 불확실성 ... 124
연습문제 ... 126
PART TWO 근과 최적화 ... 129
2.1. 개요 ... 129
2.2. 구성 ... 131
CHAPTER 5. 근: 구간법 ... 133
5.1. 공학과 과학에서의 근 ... 134
5.2. 그래프를 사용하는 방법 ... 135
5.3. 구간법과 초기 가정 ... 138
5.3.1. 증분탐색법 ... 139
5.4. 이분법 ... 142
5.4.1. MATLAB M-파일: bisect ... 147
5.5. 가위치법 ... 149
5.6. 사례연구: 온실 가스와 빗물 ... 152
연습문제 ... 157
CHAPTER 6. 근: 개방법 ... 161
6.1. 단순 고정점 반복법 ... 162
6.2. Newton-Raphson 법 ... 166
6.2.1. MATLAB M-파일: newtraph ... 170
6.3. 할선법 ... 172
6.4. MATLAB 함수: fzero ... 174
6.5. 다항식 ... 178
6.5.1. MATLAB 함수: roots ... 178
6.6. 사례연구: 파이프 마찰 ... 181
연습문제 ... 186
CHAPTER 7. 최적화 ... 191
7.1. 소개 및 배경 ... 192
7.2. 1차원 최적화 ... 195
7.2.1. 황금분할탐색법 ... 196
7.2.2. 2차 보간법 ... 202
7.2.3. MATLAB 함수: fminbnd ... 204
7.3. 다차원 최적화 ... 205
7.3.1. MATLAB 함수: fminsearch ... 207
7.4. 사례연구: 번지점프하는 사람의 속도 ... 207
연습문제 ... 210
PART THREE 선형 시스템 ... 215
3.1. 개요 ... 215
3.2. 구성 ... 217
CHAPTER 8. 선형대수방정식과 행렬 ... 219
8.1. 행렬 대수학의 개요 ... 221
8.1.1. 행렬의 표시 ... 221
8.1.2. 행렬 연산 법칙 ... 223
8.1.3. 선형대수방정식의 행렬형태 표현 ... 229
8.2. MATLAB을 이용한 선형대수방정식의 풀이 ... 231
8.3. 사례연구: 회로내의 전류와 전압 ... 233
연습문제 ... 236
CHAPTER 9. Gauss 소거법 ... 239
9.1. 소규모의 방정식을 풀기 ... 240
9.1.1. 그래프를 이용하는 방법 ... 240
9.1.2. 행렬식과 Cramer 공식 ... 242
9.1.3. 미지수 소거법 ... 245
9.2. 순수 Gauss 소거법 ... 246
9.2.1. MATLAB M-파일: GaussNaive ... 250
9.2.2. 연산 횟수 ... 251
9.3. 피봇팅 ... 254
9.3.1. MATLAB M-파일: GaussPivot ... 257
9.4. 삼중대각 시스템 ... 257
9.4.1. MATLAB M-파일: Tridiag ... 259
9.5. 사례연구: 가열된 막대의 모델 ... 259
연습문제 ... 263
CHAPTER 10. LU 분해법 ... 267
10.1. LU 분해법의 개요 ... 268
10.2. LU 분해법으로서의 Gauss 소거법 ... 270
10.2.1. MATLAB 함수: lu ... 274
10.3. CHOLESKY 분해법 ... 276
10.3.1. MATLAB 함수: chol ... 277
10.4. MATLAB 왼쪽 나눗셈 ... 279
연습문제 ... 280
CHAPTER 11. 역행렬과 조건 ... 283
11.1. 역행렬 ... 283
11.1.1. 역행렬의 계산 ... 284
11.1.2. 자극-응답 계산 ... 285
11.2. 오차 분석과 시스템 조건 ... 288
11.2.1. 벡터와 행렬의 놈 ... 289
11 2.2. 행렬의 조건수 ... 291
11.2.3. MATLAB에서의 놈과 조건수 ... 292
11.3. 사례연구: 실내 공기 오염 ... 294
연습문제 ... 298
CHAPTER 12. 반복법 ... 301
12.1. 선형 시스템: Gauss-Seidel ... 302
12.1.1. 수렴과 대각지배 ... 304
12.1.2. MATLAB M-파일: GaussSeidel ... 305
12.1.3. 이완법 ... 306
12.2. 비선형 시스템 ... 307
12.2.1. 연속대입법 ... 308
12.2.2. Newton-Raphson법 ... 310
12.3. 사례연구: 화학 반응 ... 315
연습문제 ... 318
PART FOUR 곡선접합 ... 321
4.1. 개요 ... 321
4.2. 구성 ... 323
CHAPTER 13. 선형회취분석 ... 325
13.1. 통계학 복습 ... 327
13.1.1. 기술통계학 ... 327
13.1.2. 정규 분포 ... 330
13.1.3. MATLAB을 이용한 기술통계학 ... 331
13.2. 선형 최소제곱 회귀분석 ... 333
13.2.1. "최적" 접합을 위한 기준 ... 334
13.2.2. 직선의 최소제곱접합 ... 336
13.2.3. 선형회귀분석 오차의 정량화 ... 338
13.3. 비선형 관계식의 선형화 ... 342
13.3.1. 선형회귀분석에 대한 일반적인 논평 ... 346
13.4. 컴퓨터 응용 ... 347
13.4.1. MATLAB M-파일: linregr ... 347
13.4.2. MATLAB 함수: polyfit과 polyval ... 349
13.5. 사례연구: 효소반응론 ... 350
연습문제 ... 355
CHAPTER 14. 일반적인 선형최소계급과 비선형회귀분석 ... 361
14.1. 다항식 회귀분석 ... 361
14.2. 다중 선형회귀분석 ... 365
14.3. 일반적인 선형최소제곱 ... 368
14.4. QR 분해법과 역슬래시 연산자 ... 371
14.5. 비선형회귀분석 ... 372
14.6. 사례연구: 사인곡선의 접합 ... 375
연습문제 ... 379
CHAPTER 15. 다항식보간법 ... 383
15.1. 보간법의 소개 ... 384
15.1.1. 다항식 계수의 결정 ... 385
15.1.2. MATLAB 함수: Polyfit과 polyval ... 387
15.2. Newton 보간다항식 ... 388
15.2.1. 선형보간법 ... 388
15.2.2. 2차 보간법 ... 390
15.2.3. Newton 보간다항식의 일반적인 형태 ... 392
15.2.4. MATLAB M-파일: Newtint ... 395
15.3. Lagrange 보간다항식 ... 396
15.3.1. MATLAB M-파일: Lagrange ... 398
15.4. 역보간법 ... 399
15.5. 외삽법과 진동 ... 400
15.5.1. 외삽법 ... 400
15.5.2. 진동 ... 402
연습문제 ... 406
CHAPTER 16. 스플라인과 소국간별 보관법 ... 409
16.1. 스플라인 보간법의 소개 ... 409
16.2. 선형 스플라인 ... 411
16.2.1. 표 보기 ... 414
16.3. 2차 스플라인 ... 416
16.4. 3차 스플라인 ... 419
16.4.1. 3차 스플라인의 유도 ... 420
16.4.2. 끝단조건 ... 425
16.5. MATLAB에서의 소구간별 보간법 ... 426
16.5.1. MATLAB 함수: spline ... 426
16.5.2. MATLAB 함수: interpl ... 428
16.6. 다차원 보간 ... 431
16.6.1. 이중선형 보간법 ... 431
16.6.2. MATLAB에서의 다차원 보간법 ... 433
16.7. 사례연구: 열전달 ... 434
연습문제 ... 438
PART FIVE 적분과 미분 ... 441
5.1. 개요 ... 441
5.2. 구성 ... 442
CHAPTER 17. 수치적불 공식 ... 445
17.1. 소개 및 배경 ... 446
17.1.1. 적분이란무엇인가? ... 446
17.1.2. 공학과 과학에서의 적분 ... 447
17.2. Newton-Cotes 공식 ... 450
17.3. 사다리꼴 공식 ... 451
17.3.1. 사다리꼴 공식의 오차 ... 453
17.3.2. 합성 사다리꼴 공식 ... 454
17.3.3. MATLAB M-파일: trap ... 457
17.4. Simpson 공식 ... 458
17.4.1. Simpson 1／3 공식 ... 459
17.4.2. 합성 Simpson 1／3 공식 ... 461
17.4.3. Simpson 3／8 공식 ... 463
17.5. 고차 Newton-cotes 공식 ... 465
17.6. 부등간격의 적분 ... 466
17.6.1. MATLAB M-확일: trapuneq ... 467
17.6.2. MATLAB 함수: trapz와 cumtrapz ... 468
17.7. 개구간법 ... 470
17.8. 다중적분 ... 471
17.8.1. MATLAB 함수: dblquad와 triplequad ... 473
17.9. 사례연구: 수치적분으로 일의 계산 ... 474
연습문제 ... 478
CHAPTER 18. 함수의 수치적분 ... 483
18.1. 서언 ... 483
18.2. Romberg 적분 ... 484
18.2.1. Richardson 외삽법 ... 484
18.2.2. Romberg 적분 알고리즘 ... 487
18.3. Gauss 구적법 ... 490
18.3.1. 미정계수법 ... 492
18.3.2. 2점 Gauss-Legendre 공식의 유도 ... 493
18.3.3. 다점 공식 ... 496
18.4. 적응식 구적법 ... 498
18.4.1. MATLAB 함수: quad와 quadl ... 498
18.5. 사례연구: 평균 제곱근 전류 ... 500
연습문제 ... 504
CHAPTER 19. 수치미분 ... 509
19.1. 소개 및 배경 ... 510
19.1.1. 미분이란무엇인가? ... 510
19.1.2. 공학과 과학에서의 미분 ... 512
19.2. 고정도 미분 공식 ... 514
19.3. Richardson 외삽법 ... 518
19.4. 부등간격으로 분포된 데이터의 도함수 ... 519
19.5. 오차를 지닌 데이터에 대한 도함수와 적분 ... 521
19.6. 편도함수 ... 522
19.7. MATLAB을 이용한 수치미분 ... 523
19.7.1. MATLAB 함수: diff ... 523
19.7.2. MATLAB 함수: gradient ... 526
19.8. 사례연구: 벡터장의 가시화 ... 528
연습문제 ... 531
PART SIX 상미분방정시 ... 537
6.1. 개요 ... 537
6.2. 구성 ... 542
CHAPTER 20. 초기값 문제 ... 543
20.1. 개요 ... 545
20.2. Euler법 ... 546
20.2.1. Euler법에 대한 오차해석 ... 548
20.2.2. Euler법의 수치안정성 ... 549
20.2.3. MATLAB M-파일 함수 : eulode ... 550
20.3. Euler법의 개선 ... 552
20.3.1. Heun법 ... 552
20.3.2. 중점법 ... 557
20.4 Runge-Kutta법 ... 559
20.4.1. 2차 Runge-Kutta법 ... 559
20.4.2. 전형적인 4차 Runge-Kutta법 ... 561
20.5. 연립방정식 ... 564
20.5.1. Euler법 ... 564
20.5.2. Runge-Kutta법 ... 566
20.5.3. MATLAB M-파일 함수: rk4sys ... 568
20.6. 사해연구: 포식자-피식자 모델과 카오스 ... 570
연습문제 ... 576
CHAPTER 21. 적응식 방법과 강성 시스템 ... 581
21.1. 적응식 Runge-Kutta법 ... 581
21.1.1. 비강성 시스템을 위한 MATLAB 함수 ... 583
21.2. 다단계 방법 ... 589
21.2.1. 비자발적 Heun법 ... 590
21.2.2. 오차의 추정 ... 593
21.3. 강성 ... 594
21.3.1. 강성 시스템을 위한 MATLAB 함수 ... 598
21.4. MATLAB의 응용: 번지점프하는 사람 ... 600
21.5. 사례연구: PLINY의 간헐 분수 ... 602
연습문제 ... 607
CHAPTER 22. 경계값 문제 ... 611
22.1. 소개와 배경 ... 612
22.1.1. 경계값 문제란 무엇인가? ... 612
22.1.2. 공학과 과학에서의 경계값 문제 ... 613
22.2. 사격법 ... 617
22.2.1. 도함수 경계 조건 ... 620
22.2.2. 비선형 상미분방정식에 대한 사격법 ... 622
22.3. 유한차분법 ... 625
22.3.1. 도함수 경계 조건 ... 627
22.3.2. 비선형 상미분방정식에 대한 유한차분법 ... 630
연습문제 ... 633
APPENDIX A. 고유값 문제 ... 639
A.1. 수학적 배경 ... 639
A.2. 배경 ... 640
A.3. 다항식 방법 ... 642
A.4. 멱 방법 ... 644
A.5. MATLAB 함수: eig ... 647
A.6. 사례연구: 고유값과 지진 ... 648
APPENDIX B. MATLAB 내장합수 ... 651
APPENDIX C. MATLAB M-파일 함수 ... 653
Bibliography ... 654
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